Question

7．設橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦點為F，動圓過點F且與直線x+1=0相切，M（3，0），設動圓圓心的軌跡為C₂．
（1）求C₂的方程；
（2）過F任作一條斜率為k₁的直線l，l與C₂交于A，B兩點，直線MA交C₂于另一點C，直線MB交C₂于另一點D，若直線CD的斜率為k₂，問，$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程求出橢圓右焦點，結合題意可知動圓圓心的軌跡C₂為拋物線，方程為y²=4x；
（2）分別設出AB、AC所在直線方程x=my+1與x=ny+3，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，可得A、B、C的縱坐標的關系，同理得到B、D縱坐標的關系，最后都用A的縱坐標表示，求出AB、CD的斜率（用A的縱坐標表示），可得$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$為定值3．

解答 解：（1）由橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，得a²=2，b²=1，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=1$，則F（1，0），
由動圓過點F且與直線x+1=0相切，可知動圓圓心的軌跡C₂為拋物線，
方程為y²=4x；
（2）如圖，直線l的方程為x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4my-4=0．
∴y₁y₂=-4，則${y}_{2}=-\frac{4}{{y}_{1}}$，①
設AC所在直線方程為x=ny+3，C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ny+3}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得y²-4ny-12=0．
∴y₁y₃=-12，則${y}_{3}=-\frac{12}{{y}_{1}}$．
同理求得y₂y₄=-12，②
聯(lián)立①②得，${y}_{4}=\frac{-12}{\frac{-4}{{y}_{1}}}=3{y}_{1}$，
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}=\frac{{y}_{1}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}=\frac{4{y}_{1}}{{{y}_{1}}^{2}-4}$，
${k}_{2}=\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}=\frac{{y}_{4}-{y}_{3}}{\frac{{{y}_{4}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}}=\frac{4}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=$\frac{4}{3{y}_{1}-\frac{12}{{y}_{1}}}=\frac{4{y}_{1}}{3{{y}_{1}}^{2}-12}$=$\frac{4{y}_{1}}{3（{{y}_{1}}^{2}-4）}=\frac{1}{3}{k}_{1}$，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=3$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了利用定義求拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關系的應用，體現(xiàn)了“設而不求”及“整體運算”思想方法，是中檔題．