【題目】如圖，三棱柱中，M，N分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：直線MN//平面CAB1；

(2)若四邊形ABB1A1是菱形，且， ，求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值．

【答案】(1)見解析；(2)余弦值為.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判定定理可證得直線MN//平面CAB1；

(2)結(jié)合幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系，利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(銳角)的余弦值為.

試題解析：

（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，所以是是的中點(diǎn)，

是的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

所以，所以四邊形是平行四邊形，

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以直線平面.

（2）因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>是菱形，所以.

又因?yàn)?/span>，所以.又且是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?/span>，所以≌，所以，故，從而兩兩垂直. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則， ，

，

因?yàn)?/span>兩兩垂直，所以平面，

所以是平面的一個(gè)法向量；

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，

令,得，所以

所以

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)列為遞增的等比數(shù)列, ，

數(shù)列滿足．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求證： 是等差數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使得對任意都成立的正整數(shù)的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓過點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（與不重合），證明：直線和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，值域?yàn)?/span>，即，若，則稱在上封閉.

（1）分別判斷函數(shù)， 在上是否封閉，說明理由；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且存在反函數(shù)，若函數(shù)在上封閉，且函數(shù)在上也封閉，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對任意，若，有恒成立，則稱在上是單射，已知函數(shù)在上封閉且單射，并且滿足 ，其中（），，證明：存在的真子集，

，使得在所有（）上封閉.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，曲線C的方程為；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為的直線l經(jīng)過點(diǎn)M．

(I)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程：

(II)若P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線l和曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來，我國“霧霾天氣”頻發(fā)，嚴(yán)重影響人們的身體健康．根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表：

API

0～50

51～100

101～150

151～200

201～250

251～300

>300

級(jí)別

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ1

Ⅲ2

Ⅳ1

Ⅳ2

Ⅴ

狀況

優(yōu)

良

輕微污染

輕度污染

中度污染

中度重污染

重度污染

對某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間[0，50]，(50，100]，(100，150]，(150，200]，(200，250]，(250，300]進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖．

(1)求頻率分布直方圖中x的值；

(2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為的菱形， 底面， ，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角

的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為正三角形，,,,平面.

（Ⅰ）點(diǎn)在棱上，試確定點(diǎn)的位置，使得平面;

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】今有一組數(shù)據(jù)如下表：

1

2

3

4

5

6

4

5

6

7

8

9

90

84

83

m

75

68

由最小二乘法求得點(diǎn) 的回歸直線方程是，其中.

(Ⅰ)求m的值，并求回歸直線方程；

(Ⅱ)設(shè)，我們稱為點(diǎn)的殘差，記為.

從所給的點(diǎn) 中任取兩個(gè)，求其中有且只有一個(gè)點(diǎn)的殘差絕對值不大于1的概率.

參考公式: .

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