Question

【題目】如圖，三棱柱中，M，N分別為的中點(diǎn)．

(1)證明：直線MN//平面CAB1；

(2)若四邊形ABB1A1是菱形，且， ，求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)余弦值為.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得，利用線面平行的判定定理可證得直線MN//平面CAB1；

(2)結(jié)合幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系，利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(銳角)的余弦值為.

試題解析：

（1）設(shè)與交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，所以是是的中點(diǎn)，

是的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

所以，所以四邊形是平行四邊形，

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以直線平面.

（2）因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>是菱形，所以.

又因?yàn)?/span>，所以.又且是的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)?/span>，所以≌，所以，故，從而兩兩垂直. 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則， ，

，

因?yàn)?/span>兩兩垂直，所以平面，

所以是平面的一個(gè)法向量；

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，

令,得，所以

所以

所以平面和平面所成的角（銳角）的余弦值為