Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2=4

3

y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e=

1

2

•且過橢圓右焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得

OM

•

ON

=-2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
（3）若AB是橢圓C經(jīng)過原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：

|AB|2

|MN|

為定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩張情況討論：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線l的方程；
（3）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），求出|MN|與|AB|的長，從而可證結(jié)論．

解答：（1）解：拋物線C：x2=4

3

y的焦點(diǎn)為(0，

3

)
∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2=4

3

y的焦點(diǎn)重合
∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為(0，

3

)，即b=

3

∵e=

c

a

=

1- b2 a2

=

1

2

，∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（2）解：由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），∴

OM

•

ON

=(1，

3

2

)•(1， -

3

2

)=1-

9

4

=-

5

4

，不合題意．
②設(shè)存在直線l為y=k（x-1）（k≠0），且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，

OM

•

ON

=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=

4k2-12

3+4k2

+k2(

4k2-12

3+4k2

-

8k2

3+4k2

+1)=

-5k2-12

3+4k2

=-2
所以k=±

2

，
故直線l的方程為y=

2

(x-1)或y=-

2

(x-1)（8分）
（3）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
由（2）可得：|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 8k2 3+4k2 )2-4( 4k2-12 3+4k2 )]

=

12(k2+1)

3+4k2

．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx

消去y，并整理得：x2=

12

3+4k2

，
|AB|=

1+k2

|x3-x4|=4

3(1+k2) 3+4k2

，
∴

|AB|2

|MN|

=

48(1+k2) 3+4k2

12(k2+1) 3+4k2

=4為定值  （13分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的而運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．