【題目】已知函數(shù)f(x)ax2(a2b)xaln x(a,bR)

()b1求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

()a=-1b0證明:f(x)ex>x2x1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析: (Ⅰ)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(Ⅱ)法一:問題轉(zhuǎn)化為證明ex﹣lnx﹣1>0,設(shè)g(x)=ex﹣lnx﹣1(x>0),問題轉(zhuǎn)化為證明x>0,g(x)>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;

法二:問題轉(zhuǎn)化為證明x﹣1≥lnx(x>0),令h(x)=x﹣1﹣lnx(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析:

(Ⅰ)當b=1時,f(x)=ax2-(1+a2)xaln x,

f′(x)=ax-(1+a2)+.

討論:1°當a≤0時,xa>0, >0,ax-1<0f′(x)<0,

此時函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞增區(qū)間.

2°當a>0時,令f′(x)=0xa

①當a(a>0),即a=1時, 此時f′(x)=≥0(x>0),

此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;

②當0<<a ,即a>1時,此時在和(a,+∞)上函數(shù)f′(x)>0,

上函數(shù)f′(x)<0,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為和(a,+∞);

單調(diào)遞減區(qū)間為

③當0<a<,即0<a<1時,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a)和;

單調(diào)遞減區(qū)間為

(Ⅱ)證明:(法一)當a=-1,b=0時,f(x)+ex>-x2x+1,

只需證明:ex-ln x-1>0,設(shè)g(x)=ex-ln x-1(x>0),

問題轉(zhuǎn)化為證明x>0,g(x)>0.

g′(x)=ex, g″(x)=ex>0,

g′(x)=ex為(0,+∞)上的增函數(shù),且g-2<0,g′(1)=e-1>0,

∴存在惟一的x0,使得g′(x0)=0,ex0

g(x)在(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增.

g(x)ming(x0)=ex0-ln x0-1=x0-1≥2-1=1,

g(x)min>0∴不等式得證.

(法二)先證:x-1≥ln x(x>0)

h(x)=x-1-ln x(x>0),∴h′(x)=1-=0x=1,

h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

h(x)minh(1)=0,∴h(x)≥h(1)x-1≥ln x

∴1+ln x≤1+x-1=xln(1+x)≤x,

∴eln(1+x)≤ex,1

∴exx+1>x≥1+ln x,∴ex>1+ln x

故ex-ln x-1>0,證畢.

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