【題目】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為4的正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M為A1B1的中點(diǎn).
(1)求證:MC⊥AB;
(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)P,使得MC⊥平面ABP?若存在,確定點(diǎn)P的位置;若不存在,說明理由.
(3)若點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn),求二面角B-AP-C的余弦值.
【答案】(1)詳見解析(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時,MC⊥平面ABP. (3)
【解析】試題分析: (1)取AB中點(diǎn)O,連接OM,OC,證明AB⊥平面OMC,可得MC⊥AB;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)P(0,2,t)(0≤t≤2),要使直線MC⊥平面ABP,只要 即可得出結(jié)論;(3)若點(diǎn)P為CC1的中點(diǎn),求出平面PAC的一個法向量、平面PAB的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可求二面角B-AP-C的余弦值.
試題解析:
(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接OM,OC.
∵M為A1B1中點(diǎn),
∴OM∥A1A.又A1A⊥平面ABC,
∴MO⊥平面ABC,
∵AB平面ABC,∴MO⊥AB.
∵△ABC為正三角形,∴AB⊥CO.
又MO∩CO=O,MO,CO平面OMC,∴AB⊥平面OMC.
又∵MC平面OMC,∴AB⊥MC.
(2)以O為原點(diǎn),以,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.
依題意O(0,0,0),A(-2,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),M(0,0,2).
設(shè)P(0,2,t)(0≤t≤2),
則=(0,2,-2),=(4,0,0,),=(0,2,t).
要使直線MC⊥平面ABP,只要
即(2)2-2t=0,解得t=.
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2,).
∴當(dāng)點(diǎn)P為線段CC1的中點(diǎn)時,MC⊥平面ABP.
(3)取線段AC的中點(diǎn)D,則D的坐標(biāo)為(-1,,0),易知DB⊥平面A1ACC1,
故=(3,-,0)為平面PAC的一個法向量.
又由(2)知=(0,2,-2)為平面PAB的一個法向量.
設(shè)二面角B-AP-C的平面角為α,
則|cosα|=
==.
∴二面角B-AP-C的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列, , , 為階“期待數(shù)列”:
①;
②.
()分別寫出一個單調(diào)遞增的階和階“期待數(shù)列”.
()若某階“期待數(shù)列”是等差數(shù)列,求該數(shù)列的通項公式.
()記階“期待數(shù)列”的前項和為,試證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2-(a2+b)x+aln x(a,b∈R).
(Ⅰ)當(dāng)b=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)a=-1,b=0時,證明:f(x)+ex>-x2-x+1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:極坐標(biāo)與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和,直線與曲線相交于兩點(diǎn),射線與曲線相交于點(diǎn),射線與曲線相交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為PC,AC,AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求證:(1)直線PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax-alnx(a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,求證:f(x)≥-+-4x+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則的值為( )
A. - B. -2
C. -2或- D. 2或-
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, , , , 平面.
(1)求證: 平面;
(2)若為線段的中點(diǎn),且過三點(diǎn)的平面與線段交于點(diǎn),確定點(diǎn)的位置,說明理由;并求三棱錐的高.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知m>0,p:(x+2)(x-6)≤0,q:2-m≤x≤2+m.
(1)若p是q成立的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若是 成立的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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