Question

（14分）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（1）用表示，并求的最大值；
（2）判斷當(dāng)時(shí)，的大小，并證明．

Answer 1

（1）．
（2）．證明見解析。

(I)設(shè)公共點(diǎn)為,然后利用導(dǎo)數(shù)求出此點(diǎn)處的切線，根據(jù)切線重合.解出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可找到b關(guān)于a的表達(dá)式.然后再利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可.
（2）本小題可構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，從而比較出f(x)與g(x)的大小關(guān)系.
（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同．
，，由題意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，則．于是
當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，．
故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
于是在的最大值為．
（2）設(shè)，
則．
故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是.
故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，．