Question

已知a、b均為非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角．

Answer 1

答案：
解析：

答案：解法一：∵a＋3b與7a－5b垂直， 　　∴(a＋3b)(7a－5b)＝0，即7｜a｜2＋16a·b－15｜b｜2＝0．① 　　同理，由a－4b與7a－2b垂直可得：7｜a｜2－30a·b＋8｜b｜2＝0．② 　　①－②得46a·b＝23｜b｜2，∴a·b＝｜b｜2．③ 　　將③代入①得｜a｜2＝｜b｜2，∴｜a｜＝｜b｜． 　　設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝． 　　∴θ＝，即所求的a與b的夾角為． 　　解法二：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 　　a＋3b＝(x1＋3x2，y1＋3y2)，7a－5b＝(7x1－5x2，7y1－5y2)． 　　由(a＋3b)⊥(7a－5b)得： 　　(x1＋3x2)(7x1－5x2)＋(y1＋3y2)(7y1－5y2)＝0， 　　∴7＋16x1x2－15＋7＋16y1y2－15＝0．① 　　同理，由(a－4b)⊥(7a－2b)可得： 　　7－30x1x2＋8＋7－30y1y2＋8＝0．② 　　由①－②得46(x1x2＋y1y2)＝23(＋)． 　　∴x1x2＋y1y2＝(＋)．③ 　　將③代入①得＋＝＋． 　　設(shè)a與b的夾角為θ，則 　　cosθ＝＝＝， 　　∴θ＝，即a與b的夾角為． 　　分析：由向量的數(shù)量積的定義a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ，只要找出a、b之間的內(nèi)在關(guān)系，就可以求出所求夾角θ而由已知條件可以求出a與b之間的關(guān)系，或利用向量的坐標(biāo)形式，借助結(jié)論cosθ＝解題．

提示：

解答本題的關(guān)鍵在于目標(biāo)應(yīng)明確，運(yùn)算思路要清楚．如在解法一中，當(dāng)①－②得到a·b＝｜b｜2時(shí)，若不代回①得出｜a｜＝｜b｜，就很難直接用cosθ＝得出cosθ的值，甚會(huì)面對(duì)a·b＝｜b｜2感到一籌莫展．解法二中，同樣也可以作類似的變形，這表明，在涉及數(shù)量積的有關(guān)運(yùn)算時(shí)，可據(jù)已知條件進(jìn)行靈活變形．本題是用向量的數(shù)量積處理有關(guān)角度問(wèn)題，兩種方法只是向量的表示形式不同，本質(zhì)上是一致的，可謂“殊途同歸”．