Question

15．在極坐標系中，圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ，點A的極坐標為（$\sqrt{3}$，2π），把極點作為平面直角坐標系的原點，極軸作為x軸的正半軸，并在兩種坐標系中取相同的長度單位．
（1）求圓C在直角坐標系中的標準方程；
（2）設P為圓C上任意一點，圓心C為線段AB的中點，求|PA|+|PB|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圓C在直角坐標系中的標準方程．
（2）求出點A的直角坐標為（$\sqrt{3}$，0），圓心C（$\sqrt{3}$，-1）是線段AB的中點，點B的直角坐標為（$\sqrt{3}$，-2），由圓C的參數(shù)方程設點P（$\sqrt{3}+2cosθ$，-1+2sinθ），則|PA|+|PB|=$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ-1）^{2}}$+$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ+1）^{2}}$=$\sqrt{10+2\sqrt{25-16si{n}^{2}θ}}$，由此能求出|PA|+|PB|的最大值．

解答 解：（1）∵圓C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{3}$cosθ-2sinθ，
∴圓C的極坐標方程為ρ²=2$\sqrt{3}$ρcosθ-2ρsinθ，
由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
得${x}^{2}+{y}^{2}-2\sqrt{3}x+2y=0$，
∴圓C在直角坐標系中的標準方程為（$x-\sqrt{3}$）²+（y+1）²=4．
（2）∵點A的極坐標為（$\sqrt{3}$，2π），
∴點A的直角坐標為（$\sqrt{3}$cos2π，$\sqrt{3}sin$2π），即（$\sqrt{3}$，0），
圓心C（$\sqrt{3}$，-1）是線段AB的中點，點B的直角坐標為（$\sqrt{3}$，-2），
∵圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+2cosθ}\\{y=-1+2sinθ}\end{array}\right.，（θ為參數(shù)）$，P為圓C上任意一點，
∴設點P（$\sqrt{3}+2cosθ$，-1+2sinθ），
則|PA|+|PB|=$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ-1）^{2}}$+$\sqrt{（2cosθ）^{2}+（2sinθ+1）^{2}}$
=$\sqrt{5+4sinθ}$+$\sqrt{5-4sinθ}$
=$\sqrt{（\sqrt{5+4sinθ}+\sqrt{5-4sinθ}）^{2}}$
=$\sqrt{10+2\sqrt{25-16si{n}^{2}θ}}$，
當sinθ=0時，（|PA|+|PB|）_max=$\sqrt{10+10}$=2$\sqrt{5}$，
∴|PA|+|PB|的最大值為2$\sqrt{5}$．

點評 本題考查圓在直角坐標系中標準方程的求法，考查兩線段和的求法，考查兩點間距離公式的應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標方程、極坐標方程互化公式的合理運用．