Question

已知函數(shù)f（x）=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a），求g（a）．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：確定函數(shù)的定義域，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：由題意得函數(shù)f（x）的定義域為[-1，1]．
由t=

1+x

+

1-x

平方得t²=2+2

1-x2

．
由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，
所以t的取值范圍是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t²-1，∴h（t）=at²+t-a，定義域為[

2

，2]．
由題意知g（a）即為函數(shù)h（t）=

1

2

at²+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直線t=-

1

a

是拋物線h（t）=

1

2

at²+t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論：
①當a＞0時，函數(shù)y=h（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②當a=0時，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③當a＜0時，函數(shù)y=h（t），t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，t=-

1

a

＞0．
若t=-

1

a

∈（0，

2

），即a＜-

2

2

時，則g（a）=h（

2

）=

2

；
若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

2

≤a≤-

1

2

時，則g（a）=h（-

1

a

）=-a-

1

2a

；
若t=-

1

a

∈（2，+∞），即-

1

2

＜a＜0時，則g（a）=h（2）=a+2．
綜上所述，g（a）=

a+2，a＞- 1 2 -a- 1 2a ，- 2 2 ≤a≤- 1 2 2 ，a＞- 2 2

．

點評：本題考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．