Question

定義域為R的函數(shù)y=f（x），若對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)為“H函數(shù)”，現(xiàn)給出如下函數(shù)：
①y=-x³+x+1②y=3x-2（sinx-cosx）③y=e^x+1④f(x)=

ln|x|，x≠0 0，x=0

其中為“H函數(shù)”的有（　�。�

• A、①②
• B、③④
• C、②③
• D、①②③

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①函數(shù)y=-x³+x+1，則y′=-3x²+1，當(dāng)x＜-

3

3

，或x＞

3

3

時，y′＜0，此時函數(shù)為減函數(shù)，不滿足條件．
②y=3x-2（sinx-cosx），y′=3-2（cosx+sinx）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③y=e^x+1為增函數(shù)，滿足條件．
④f（x）=f(x)=

ln|x|，x≠0 0，x=0

，當(dāng)x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵．