Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=AA₁=2，AC=$\sqrt{5}$，BC=3，M，N分別為B₁C₁、AA₁的中點(diǎn)．
（1）求證：平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）求證：MN∥平面ABC₁，并求M到平面ABC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，先證直線(xiàn)AB⊥平面AA₁C₁C，再根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）根據(jù)面面平行的判定定理，先證平面MND∥平面ABC₁，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得出MN∥平面ABC₁，
求M到平面ABC₁的距離，則根據(jù)性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為求N到平面ABC₁的距離．作出點(diǎn)N作出平面ABC₁的垂線(xiàn)，并根據(jù)相似求出垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度．

解答 證明：（1）∵AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC，
又三棱柱中，有AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，
又 AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面AA₁C₁C，
∵AB?平面ABC₁，
∴平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）取BB₁中點(diǎn)D，∵M(jìn)為B₁C₁中點(diǎn)，
∴MD∥BC₁（中位線(xiàn)），
又∵N為AA₁中點(diǎn)，四邊形ABB₁A₁為平行四邊形，
∴DN∥AB（中位線(xiàn)），
又MD∩DN=D，
∴平面MND∥平面ABC₁．
∵M(jìn)N?平面MND，
∴MN∥平面ABC₁．
∴N到平面ABC₁的距離即為M到平面ABC₁的距離．
   過(guò)N作NH⊥AC₁于H，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，
∴NH⊥平面ABC₁，
   又根據(jù)△ANH∽△AC₁A₁
∴$NH=\frac{1}{2}×\frac{{A{A_1}×{A_1}{C_1}}}{{A{C_1}}}=\frac{1}{2}×\frac{{2×\sqrt{5}}}{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
∴點(diǎn)M到平面ABC₁的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的判斷及證明，點(diǎn)面距離的求法（幾何法、等積法、向量法等），屬于中檔題．