Question

已知f(x)=

4x+a

4x+1

是奇函數，
（1）求常數a的值；  
（2）求f（x）的定義域和值域；
（3）討論f（x）的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義f（-x）=-f（x），即可求得a值；
（2）先把函數f（x）變形為f（x）=

4x-1

4x+1

=1-

2

4x+1

，利用基本函數的值域可求函數f（x）的值域，f（x）的定義域易求得；
（3）設x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，再利用函數的單調性的定義可作出判斷．

解答：解：（1）因為f(x)=

4x+a

4x+1

是奇函數，
所以f（-x）=-f（x），即

4-x+a

4-x+1

=-

4x+a

4x+1

，也即

1+a•4x

1+4x

=-

4x+a

4x+1

，
所以

(1+a•4x)+(4x+a)

4x+1

=a+1=0，
所以a=-1．
（2）由（1）知，f（x）=

4x-1

4x+1

=1-

2

4x+1

，
其定義域為R．
因為4^x＞0，所以0＜

2

4x+1

＜2，-1＜1-

2

4x+1

＜1，
即-1＜f（x）＜1．
所以函數f（x）的值域為（-1，1）．
（3）所以函數f（x）在R上為增函數．
證明：設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

4x1+1

）-（1-

2

4x2+1

）
=

2

4x2+1

-

2

4x1+1

=

2(4x1-4x2)

(4x2+1)(4x1+1)

．
因為x₁＜x₂，所以4x1＜4x2，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數f（x）在R上為增函數．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，屬基礎題，定義是解決該類問題的基本方法．