已知f(x)=4xax2x3(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

-1≤a≤1


解析:

本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式有關(guān)知識(shí).

f′(x)=4+2ax-2x2.

f(x)在[-1,1]上是增函數(shù),

f′(x)≥0對(duì)x∈[-1,1]恒成立,

x2ax-2≤0對(duì)x∈[-1,1]恒成立.①

設(shè)φ(x)=x2ax-2,

則①式等價(jià)于

解得-1≤a≤1.

∵對(duì)x∈[-1,1],只有當(dāng)a=1時(shí),f′(-1)=0,以及當(dāng)a=-1時(shí),f′(1)=0,

∴實(shí)數(shù)a的范圍為-1≤a≤1.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
4x+a4x+1
是奇函數(shù),
(1)求常數(shù)a的值;  
(2)求f(x)的定義域和值域;
(3)討論f(x)的單調(diào)性并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=
4x+1
2x+m
存在
反函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )
A、(-∞,-
1
2
)
B、(-∞,
1
2
)
C、(-∞,-
1
2
)∪(-
1
2
,+∞)
D、(-∞,
1
2
)∪(
1
2
,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=4x+ax2-x3(x∈R)在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù).

(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A.

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x3的兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2,試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)于任意aAt∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知f(x)=
4x+1
2x+m
存在
反函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( 。
A.(-∞,-
1
2
)
B.(-∞,
1
2
)
C.(-∞,-
1
2
)∪(-
1
2
,+∞)
D.(-∞,
1
2
)∪(
1
2
,+∞)

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