Question

給定橢圓，稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”，已知橢圓C的兩個焦點分別是.

（1）若橢圓C上一動點滿足，求橢圓C及其“伴隨圓”的方程；

（2）在（1）的條件下，過點作直線l與橢圓C只有一個交點，且截橢圓C的“伴隨圓”所得弦長為，求P點的坐標(biāo)；

（3）已知，是否存在a，b，使橢圓C的“伴隨圓”上的點到過兩點的直線的最短距離.若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓方程，伴隨圓方程；（2）；（3）存在，．

【解析】

試題分析：（1）這是基本題，題設(shè)實質(zhì)已知，要求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，已知圓心及半徑求圓的方程；（2）為了求點坐標(biāo)，我們可設(shè)直線方程為，直線與橢圓只有一個公共點，即直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立方程組，這個方程組只有一個解，消元后利用可得的一個方程，又直線截圓所得弦長為，又得一個關(guān)于的方程，聯(lián)立可解得；（3）這是解析幾何中的存在性問題，解決方法都是假設(shè)存在，然后去求出這個，能求出就說明存在，不能求出就說明不存在．解法如下，寫出過點的直線方程，求出圓心到這條直線的距離為，可見當(dāng)圓半徑不小于3時，圓上的點到這條直線的最短距離為0，即當(dāng)時，，但由于，無解，當(dāng)圓半徑小于3時，圓上的點到這條直線的最短距離為，由此得，又有，可解得，故存在．

試題解析：（1）由題意：，則，所以橢圓的方程為，  2分

其“伴隨圓”的方程為．         4分

（2）設(shè)直線的方程為

由得       6分

 則有得， ①      7分

由直線截橢圓的“伴隨圓”所得弦長為，可得

，得  ②          8分

 由①②得，又，故，所以點坐標(biāo)為．   10分

（3）過的直線的方程為：，

即，得        12分

 由于圓心到直線的距離為

，             14分

當(dāng)時，，但，所以，等式不能成立；

當(dāng)時，，

由得所以

因為，所以，

得．所以           18分