如圖，以橢圓C：
x2
4
+y2=1的左頂點T為圓心作圓T與橢圓C交于點M，N．
（Ⅰ）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時圓T的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C上異于M，N的任意一點，且直線MP，NP分別于x軸交于點R，S，O為坐標原點，求證：|OR|•|OS|為定值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）設M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨設y1＞0，由于點M在橢圓G上，得y12=1-
x12
4
，由已知T（-2，0），則
TM
=（x1+2，y1），
TN
=（x1+2，-y1），從而
TM
•
TN
=（x1+2，y1）•（x1+2，-y1）=（x1+2）2-y12=
5
4
(x1+
8
5
)2-
1
5
，當x1=-
8
5
時，
TM
•
TN
取得最小值為-
1
5
，由此能求出圓T的方程為（x+2）2+y2=
13
25
．
（Ⅱ）設P（x0，y0），則直線MP的方程為：y-y0=
y0-y1
x0-x1
(x-x0)，令y=0，得xR=
x1y0-x0y1
y0-y1
，同理，xS=
x1y0+x0y1
y0+y1
，故xR•xS=
x12y02-x02y12
y02-y12
，由此能證明|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值．
解答： （Ⅰ）解：∵點M與點N關于x軸對稱，
設M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨設y1＞0，
由于點M在橢圓G上，∴y12=1-
x12
4
，（*）
由已知T（-2，0），則
TM
=（x1+2，y1），
TN
=（x1+2，-y1），
∴
TM
•
TN
=（x1+2，y1）•（x1+2，-y1）=（x1+2）2-y12=（x1+2）2-（1-
x12
4
）=
5
4
x12+4x1+3=
5
4
(x1+
8
5
)2-
1
5
，
∵-2＜x1＜2，
∴當x1=-
8
5
時，
TM
•
TN
取得最小值為-
1
5
，
由（*）式y1=
3
5
，
又點M在圓T上，代入圓的方程，得r2=
13
25
，
故圓T的方程為（x+2）2+y2=
13
25
．
（Ⅱ）證明：設P（x0，y0），則直線MP的方程為：y-y0=
y0-y1
x0-x1
(x-x0)，
令y=0，得xR=
x1y0-x0y1
y0-y1
，
同理，xS=
x1y0+x0y1
y0+y1
，
故xR•xS=
x12y02-x02y12
y02-y12
，（**）
又點M與點P在橢圓上，
∴x02=4(1-y02)，x12=4(1-y12)，
代入（**）式，
得xR•xS=
4(1-y12)y02-4(1-y02)y12
y02-y12
=
4(y02-y12)
y02-y12
=4．
∴|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4為定值．
點評：本題考查向量的數(shù)量積的最小值的求法，并求此時圓T的方程，考查|OR|•|OS|為定值的證明．解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
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已知M={x|x2≤4}，N={x|
2
x-1
≥1}，則M∩N=（　�。�
A、{x|1＜x≤2}
B、{x|-2≤x≤1}
C、{x|1≤x≤2}
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y
=0.85x-85.71說明若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kg；
④對分類變量X與Y，若它們的隨機變量K2的觀測值k越小，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大．其中正確的說法是（　�。�
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A、
82
9
B、
28
9
C、
28
3
D、
10
3

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用當型循環(huán)結構寫求和S=22+42+62+…+1002的算法，并畫出算法流程圖．

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等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，設bn=log
1
3
an，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設{bn}的前n項和為Sn，求數(shù)列{
1
Sn
}（n∈N*）的前n項和Tn．

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已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點到其右準線的距離為1，到右頂點的距離為
2
-1，圓O：x2+y2=a2，P為圓O上任意一點．
（1）求a，b；
（2）過點P作PH⊥x軸，垂足為H，線段PH與橢圓交點為M，求
MH
PH
；
（3）過點P作橢圓E的一條切線l，直線m是經(jīng)過點P且與切線l垂直的直線，試問：直線m是否經(jīng)過一定點？如果是，請求出此定點坐標；如果不是，請說明理由．

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