Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)點(diǎn)列{A_n}、{B_n}、{C_n}，其中A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0），滿足向量$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}$與向量$\overrightarrow{{B}_{n}{C}_{n}}$共線，且b_n+1-b_n=6，a₁=b₁=0，則a_n=3n²-9n+6（n∈N^*）．（用n表示）

Answer 1

分析 b_n+1-b_n=6，a₁=b₁=0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：b_n=6n-6．向量$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}$=（1，a_n+1-a_n），向量$\overrightarrow{{B}_{n}{C}_{n}}$=（-1，-b_n），利用向量共線定理可得：a_n+1-a_n=b_n=6n-6，再利用“累加求和”與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：∵b_n+1-b_n=6，a₁=b₁=0，
∴b_n=0+6（n-1）=6n-6．
向量$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}$=（1，a_n+1-a_n），
向量$\overrightarrow{{B}_{n}{C}_{n}}$=（-1，-b_n），
∵向量$\overrightarrow{{A}_{n}{A}_{n+1}}$與向量$\overrightarrow{{B}_{n}{C}_{n}}$共線，
∴-b_n+a_n+1-a_n=0，
∴a_n+1-a_n=b_n=6n-6，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[6（n-1）-6]+[6（n-2）-6]+…+[6×1-6]+0
=$6×\frac{n（n-1）}{2}$-6（n-1）
=3n²-9n+6.3n²-9n+6（n∈N^*）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“累加求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、向量共線定理、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．