Question

15．已知直線y=x+2與圓x²+y²=6相交的弦長(zhǎng)等于橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，拋物線C：y²=4x
（1）求該橢圓的方程；
（2）經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F作互相垂直的直線分別交曲線C及橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）于點(diǎn)M，N，A，B四點(diǎn)，其中M，N在拋物線C上，A，B在橢圓上，試求$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原點(diǎn)到直線的距離，由圓的弦長(zhǎng)公式可得2a=4，即a=2，由離心率可得c=1，求得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）討論兩直線的斜率不存在和為0，求得弦長(zhǎng)的比為1；再由直線y=k（x-1），代入拋物線的方程y²=4x，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，求得|MN|，再由直線y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入橢圓方程3x²+4y²-12=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，可得|AB|，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由圓心（0，0）到直線y=x+2的距離為d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得弦長(zhǎng)為2$\sqrt{6-2}$=4，
由題意可得2a=4，即a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，可得c=1，b=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）當(dāng)互相垂直的直線一條斜率為0，另一條不存在，
可得|MN|=|AB|=4，即有$\frac{|AB|}{|MN|}$=1；
設(shè)互相垂直的直線中一條為y=k（x-1），代入拋物線的方程y²=4x，
可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=1，
即有弦長(zhǎng)|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（2+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-4}$=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，
將直線y=-$\frac{1}{k}$（x-1），代入橢圓方程3x²+4y²-12=0，
可得（4+3k²）x²-8x+4-12k²=0，
即有x₃+x₄=$\frac{8}{4+3{k}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{4-12{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$，
弦長(zhǎng)|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\sqrt{\frac{64}{（4+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{16-48{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}}$
=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
即有$\frac{|AB|}{|MN|}$=$\frac{3{k}^{2}}{4+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{3+\frac{4}{{k}^{2}}}$∈（0，1）．
綜上可得，$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范圍是（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查弦長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和曲線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．