Question

（2013•惠州模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+

x3

3

-x²-2ax（a∈R）．
（1）若x=2為f（x）的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，方程f（1-x）=

(1-x)3

3

+

b

x

有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的最大值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由x=2為f（x）的極值點(diǎn)，可得f'（2）=0，代入可求a
（2）由題意可得f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立，①當(dāng)a=0時(shí)，容易檢驗(yàn)是否符合題意，②當(dāng)a≠0時(shí)，由題意可得必須有2ax+1＞0對(duì)x≥3恒成立，則a＞0，從而2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0對(duì)x∈[3，+∞0上恒成立．考查函數(shù)g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求
（3）由題意可得lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．
方法1：構(gòu)造函數(shù)g（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），對(duì)函數(shù)h（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可求
方法2：對(duì)函數(shù)g（x）=x（lnx+x-x²）求導(dǎo)可得g'（x）=lnx+1+2x-3x²．由導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)p（x）=lnx+1+2x-3x²，的單調(diào)性可求函數(shù)g（x）的零點(diǎn)，即g'（x₀）=0，從而可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)，可知x→0時(shí)，lnx+

1

4

＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值

解答：解：（1）f′(x)=

2a

2ax+1

+x2-2x-2a=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

．…（1分）
因?yàn)閤=2為f（x）的極值點(diǎn)，所以f'（2）=0．…（2分）
即

2a

4a+1

-2a=0，解得a=0．…（3分）
又當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x（x-2），從而x=2為f（x）的極值點(diǎn)成立．…（4分）
（2）因?yàn)閒（x）在區(qū)間[3，+∞）上為增函數(shù)，
所以f′(x)=

x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)]

2ax+1

≥0在區(qū)間[3，+∞）上恒成立．…（5分）
①當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=x（x-2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以fx）在[3，+∞上為增函數(shù)，故a=0符合題意．…（6分）
②當(dāng)a≠0時(shí)，由函數(shù)f（x）的定義域可知，必須有2ax+1＞0對(duì)x≥3恒成立，故只能a＞0，
所以2ax²+（1-4a）x-（4a²+2）≥0對(duì)x∈[3，+∞0上恒成立．…（7分）
令g（x）=2ax²+（1-4a）x-（4a²+2），其對(duì)稱(chēng)軸為x=1-

1

4a

，…（8分）
因?yàn)閍＞0所以1-

1

4a

＜1，從而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，
因?yàn)間（3）=-4a²+6a+1≥0，
解得

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

．…（9分）
因?yàn)閍＞0，所以0＜a≤

3+ 13

4

．
綜上所述，a的取值范圍為[0，

3+ 13

4

]．…（10分）
（3）若a=-

1

2

時(shí)，方程f(1-x)=

(1-x)3

3

+x＞0

b

x

可化為，lnx-(1-x)2+(1-x)=

b

x

．
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b=xlnx-x（1-x）²+x（1-x）=xlnx+x²-x³在（0，+∞）上有解，
即求函數(shù)g（x）=xlnx+x²-x³的值域．…（11分）
以下給出兩種求函數(shù)g（x）值域的方法：
方法1：因?yàn)間（x）=x（lnx+x-x²），令h（x）=lnx+x-x²（x＞0），
則h′(x)=

1

x

+1-2x=

(2x+1)(1-x)

x

，…（12分）
所以當(dāng)0＜x＜1，h^′（x）＞0，從而h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，
當(dāng)x＞1，h^′（x）＜0，從而h（x'）在（1，+∞上為減函數(shù)，…（13分）
因此h（x）≤h（1）=0．
而，故b=x•h（x）≤0，
因此當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0．…（14分）
方法2：因?yàn)間（x）=x（lnx+x-x²），所以g'（x）=lnx+1+2x-3x²．
設(shè)p（x）=lnx+1+2x-3x²，則p′(x)=

1

x

+2-6x=-

6x2-2x-1

x

．
當(dāng)0＜x＜

1+ 7

6

時(shí)，p'（x）＞0，所以p（x）在(0，

1+ 7

6

)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞

1+ 7

6

時(shí)，p'（x）＜0，所以p（x）在(

1+ 7

6

，+∞)上單調(diào)遞減；
因?yàn)閜（1）=0，故必有p(

1+ 7

6

)＞0，又p(

1

e2

)=-2+1+

2

e2

-

3

e4

＜-

3

e4

＜0，
因此必存在實(shí)數(shù)x0∈(

1

e2

，

1+ 7

6

)使得g'（x₀）=0，
∴當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x₀＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
又因?yàn)?span id="6wgacgk" class="MathJye">g(x)=xlnx+x2-x3=x(lnx+x-x2)≤x(lnx+

1

4

)，
當(dāng)x→0時(shí)，lnx+

1

4

＜0，則g（x）＜0，又g（1）=0．
因此當(dāng)x=1時(shí)，b取得最大值0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值的應(yīng)用，及利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值的求解，解答本題要求考生具備較強(qiáng)的邏輯推理與運(yùn)算的能力