Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且an=2﹣2Sn ， 數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且b5=14，b7=20．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若cn=anbn ， n∈N* ， 求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=2﹣2Sn，當(dāng)n=1時(shí)，a1=2﹣2a1，解得a1= ；

當(dāng)n≥2時(shí)，an﹣1=2﹣2Sn﹣1，

∴an﹣an﹣1=2﹣2Sn﹣（2﹣2Sn﹣1）=﹣2an，

化為3an=an﹣1，

∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公比為 ，

可得：an= （ ）n﹣1=2（ ）n，n∈N*

（2）解：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為d且b5=14，b7=20．

可得b1+4d=14，b1+6d=20，

解得b1=2，d=3，

可得bn=b1+（n﹣1）d=2+3（n﹣1）=3n﹣1，n∈N*；

cn=anbn=2（3n﹣1）（ ）n．

前n項(xiàng)和Tn=2[2（ ）+5（ ）2+7（ ）3+…+（3n﹣1）（ ）n]，

Tn=2[2（ ）2+5（ ）3+7（ ）4+…+（3n﹣1）（ ）n+1]，

相減可得 Tn=2[ +2（ ）2+2（ ）3+…+2（ ）n﹣（3n﹣1）（ ）n+1]

=2[ +2 ﹣（3n﹣1）（ ）n+1]，

化簡(jiǎn)可得Tn= ﹣

【解析】（1）由數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到bn，求出cn=anbn=2（3n﹣1）（ ）n．運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．