Question

【題目】設函數(shù)f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），a≥0．
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)的定義域是（﹣1，+∞），

a=1時，f（x）=ln（x+1）+x2﹣x，

f′（x）= ，

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣ ，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣ ，

得：f（x）在（﹣1，﹣ ）遞增，在（﹣ ，0）遞減，在（0，+∞）遞增，

∴x=﹣ 時，f（x）取得極大值f（﹣ ）= ﹣ln2，

x=0時，f（x）取得極小值f（0）=0

（2）解：f′（x）= ，

令g（x）=2ax2+ax+1﹣a=2a（x+ ）2+1﹣ ，

① 若1﹣ ≥0，即0≤a≤ ，則g（x）≥0在（0，+∞）恒成立，

從而f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）遞增，

而f（0）=0，∴0≤a≤ 符合題意；

②若1﹣ ＜0，即a＞ ，

由于g（﹣1）=1＞0，g（1）=2a+1＞0，

則g（x）在（﹣1，+∞）有2個零點，

從而函數(shù)f（x）在（﹣1，+∞）上有兩個極值點x1，x2，且x1＜﹣ ＜x2，

（i）當 ≤a≤1時，∵g（0）≥0，可知x≥0時，f′（x）≥0恒成立，

x＞0時，f（x）＞f（0）=0成立，

（ii）a＞1時，g（0）＜0，可知f（x）在（0，x2）遞減，

∵f（0）=0，故不能滿足題意，

綜上 a∈[0，1]

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，令g（x）=2ax2+ax+1﹣a=2a（x+ ）2+1﹣ ，通過a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數(shù)的極值與導數(shù)的相關知識，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．