Question

設(shè)函數(shù)f（x）=kx²-kx-6+k．
（1）若對于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．
（2）若對于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=k（x²-x+1）-6=g（k），
則g（k）是關(guān)于k的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為x²-x+1…（2分）
法1、∵∴g（k）在[-2，2]上遞增．…（4分）
∴g（k）＜0?g（2）=2（x²-x+1）-6＜0∴解得x的取值范圍為：-1＜x＜2…（6分）
法2、依題只須∴-1＜x＜2
（2）法1、要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
則只須在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
而當x∈[1，2]時：…（10分）
∴k＜2…（12分）
法2、∵在x∈[1，2]上恒成立
∴或或
綜上解得：k＜2
分析：（1）根據(jù)對于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，變更主元k（x²-x+1）-6=g（k），可得，解此不等式組即可求得結(jié)果；
（2）法1：要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立，則只須在x∈[1，2]上恒成立；求得的最小值即可；
法2：配方，分類討論∴或或，即可求得結(jié)果．
點評：本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時要抓住二次函數(shù)與x軸無交點的特點進行求解．主要考查了二次函數(shù)的恒成立問題．二次函數(shù)的恒成立問題分兩類，一是大于0恒成立須滿足開口向上，且判別式小于0，二是小于0恒成立須滿足開口向下，且判別式小于0．屬中檔題．