Question

宇宙深處有一顆美麗的行星，這個(gè)行星是一個(gè)半徑為r（r>0）的球。人們在行星表面建立了與地球表面同樣的經(jīng)緯度系統(tǒng)。已知行星表面上的A點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)30°；B點(diǎn)落在東經(jīng)30°的赤道上；C點(diǎn)落在北緯60°，東經(jīng)90°。在赤道上有點(diǎn)P滿足PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離。
（1）求AC兩點(diǎn)間的球面距離；
（2）求P點(diǎn)的經(jīng)度；
（3）求AP兩點(diǎn)間的球面距離。

Answer 1

解析試題分析：（1）根據(jù)緯度、經(jīng)度的定義求出的長，在由余弦定理求的大小，然后用弧長公式
求AC兩點(diǎn)間的球面距離，（2）由球面距離定義知∠POB=∠AOB=60°，又P點(diǎn)在赤道上，根據(jù)經(jīng)度的定義可確定P點(diǎn)的經(jīng)度；（3）連接A，C，，可知A平行OB且等于OB的一半，延長BA與交于D點(diǎn)，那么，同理可證，即四邊形為等腰梯形，求出的長，然后解三角形可得的大小。  
試題解析：設(shè)球心為，北緯60°圈所對應(yīng)的圓心為，
（1）那么=。A=C=。又因?yàn)椤螦C=60°。
所以AC=。那么由余弦定理得
，則AC兩點(diǎn)間的球面距離為。
（2）PB兩點(diǎn)間的球面距離等于AB兩點(diǎn)間的球面距離，所以PB=AB。
可知∠POB=∠AOB=60°，又P點(diǎn)在赤道上，所以P點(diǎn)的經(jīng)度為東經(jīng)90°或西經(jīng)30°。
顯然P點(diǎn)的兩種可能對應(yīng)的AP間的球面距離相等。不妨P所在的經(jīng)度為東經(jīng)90°。
由條件可知A平行OB且等于OB的一半，延長BA與交于D點(diǎn)，那么。  
而C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共線且。
可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。
又，所以四邊形為等腰梯形，
所以，，
所以兩點(diǎn)之間的球面距離為
考點(diǎn)：（1）緯（經(jīng)）的定義；（2）球面距離的定義與求法；（3）余弦定理的應(yīng)用；（4）反三角函數(shù)的應(yīng)用。