Question

【題目】已知函數(shù) 有最大值 ， ，且 是 的導(dǎo)數(shù)．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng) ， 時(shí)， ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 的定義域?yàn)? ， ．
當(dāng) 時(shí)， ，
在 上為單調(diào)遞增函數(shù)，無最大值，不合題意，舍去；
當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ，
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減，
,
,
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,
．
， ,
在 上單調(diào)遞增．
又 ， 且 ,
．
,
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增,
要證 ，即 ，只要證 ，即 ．
， ,
所以只要證 ————（*）,
設(shè) （其中 ）,
,
在（0，1）上為增函數(shù),
，故（*）式成立，從而
【解析】（Ⅰ）根據(jù)題目中所給的條件的特點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解即可.主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí).
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況．