Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（n∈N^?）．
（1）求數(shù)列{a_n}的最大項(xiàng)；
（2）設(shè)b_n=，求實(shí)常數(shù)p，使得{b_n}為等比數(shù)列；
（3）設(shè)m，n，p∈N^*，m＜n＜p，問：數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列？如果存在，求出這三項(xiàng)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可得 a_n==2+，隨著n的增大而減小，所以{a_n}中的最大項(xiàng)為a₁=4．
（2）b_n====，若{b_n}為等比數(shù)列，
∴b²_n+1-b_nb_n+2=0（n∈N*），
∴[（2+p）3ⁿ⁺¹+（2-p）]²-[（2+p）3ⁿ+（2-p）][（2+p）3ⁿ⁺²+（2-p）]=0（n∈N*），
化簡得（4-p²）（2•3ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺²-3ⁿ ）=0即-（4-p²）•3ⁿ•4=0，解得p=±2．
反之，當(dāng)p=2時(shí)，b_n=3ⁿ，{b_n}是等比數(shù)列；當(dāng)p=-2時(shí)，b_n=1，{b_n}也是等比數(shù)列．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)p=±2時(shí){b_n}為等比數(shù)列．
（3）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228155.png' />，，，
若存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列，則2a_n=a_m+a_p，
所以=，
化簡得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）=1+3^p-m-2×3^n-m（*），
因?yàn)閙，n，p∈N^*，m＜n＜p，所以p-m≥p-n+1，p-m≥n-m+1，
所以3^p-m≥3^p-n+1=3×3^p-n，3^p-m≥3^n-m+1=3×3^n-m，（*）的
左邊≤3ⁿ（2×3^p-n-3×3^p-n-1）=3ⁿ（-3^p-n-1）＜0，
右邊≥1+3×3^n-m-2×3^n-m=1+3^n-m＞0，所以（*）式不可能成立，
故數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列．
分析：（1）首先對(duì)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式進(jìn)行變形，由 a_n=，分析a_n隨n的變化規(guī)律再結(jié)合n∈N*即可獲得問題的解答．
（2）結(jié)合條件充分利用等比數(shù)列的性質(zhì)：等比中項(xiàng)即可獲得含參數(shù)的方程，解方程即可獲得參數(shù)的值，最后要注意
參數(shù)的驗(yàn)證．
（3）若存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是等差數(shù)列，則2a_n=a_m+a_p，化簡得3ⁿ（2×3^p-n-3^p-m-1）
=1+3^p-m-2×3^n-m（*），由條件可得（*）式不可能成立，故數(shù)列{a_n}中不存在三項(xiàng)a_m，a_n，a_p，使數(shù)列a_m，a_n，a_p是
等差數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的思想、數(shù)學(xué)歸難的思想以及問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．