Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+2在區(qū)間[-2，3]上是單調(diào)函數(shù)，實數(shù)a的取值范圍

a≤-4或a≥1

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的解析式f（x）=x²+2（a+1）x+2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，判斷出函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-a-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-a-1，+∞）上是增函數(shù)，再由函數(shù)在區(qū)間[-2，3]上為單調(diào)函數(shù)，可得區(qū)間在對稱軸的同一側(cè)，進而構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+2的圖象是開口方向朝上，且以x=-a-1為對稱軸的拋物線，
∴函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+2在區(qū)間（-∞，-a-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[-a-1，+∞）上是增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）=x²+2（a+1）x+2在區(qū)間[-2，3]上是單調(diào)函數(shù)，
∴-a-1≤-2，或-a-1≥3，
解得a≥1或a≤-4．
故答案為：a≤-4或a≥1．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，3]上為單調(diào)函數(shù)，判斷出區(qū)間在對稱軸的同一側(cè)，進而構(gòu)造關(guān)于a的不等式是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．