Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}-3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求證：數(shù)列{a_2n-$\frac{3}{2}$}是等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n，并求滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （1）直接由數(shù)列遞推式求得a₂，a₃，a₄的值；
（2）設$_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}$，由$\frac{_{n+1}}{_{n}}$結合數(shù)列遞推式證得數(shù)列{${a}_{2n}-\frac{3}{2}$}是以${a}_{2}-\frac{3}{2}$，即$-\frac{1}{6}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列；
（3）由（2）求出a_2n，并進一步得到a_2n-1，從而得到a_2n-1+a_2n，求得S_2n，再由S_2n-1=S_2n-a_2n求得S_2n-1，得到滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n的值．

解答 （1）解：由a₁=1，a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}{a}_{n}+n，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}-3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
得${a}_{2}=\frac{1}{3}{a}_{1}+1=\frac{4}{3}$，${a}_{3}={a}_{2}-6=\frac{4}{3}-6=-\frac{14}{3}$，${a}_{4}=\frac{1}{3}{a}_{3}+3=\frac{13}{9}$；
（2）證明：設$_{n}={a}_{2n}-\frac{3}{2}$，
∵$\frac{_{n+1}}{_{n}}=\frac{{a}_{2n+2}-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n+1}+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}（{a}_{2n}-6n）+（2n+1）-\frac{3}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}{a}_{2n}-\frac{1}{2}}{{a}_{2n}-\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$，
∴數(shù)列{${a}_{2n}-\frac{3}{2}$}是以${a}_{2}-\frac{3}{2}$，即$-\frac{1}{6}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列；
（3）解：由（2）得${a}_{2n}-\frac{3}{2}=-\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n}$，
即${a}_{2n}=-\frac{1}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}+\frac{3}{2}$，
由${a}_{2n}=\frac{1}{3}{a}_{2n-1}+（2n-1）$，得${a}_{2n-1}=3{a}_{2n}-3（2n-1）=-\frac{1}{2}（\frac{1}{3}）^{n-1}-6n+\frac{15}{2}$，
∴${a}_{2n-1}+{a}_{2n}=-\frac{1}{2}[（\frac{1}{3}）^{n-1}+（\frac{1}{3}）^{n}]-6n+9$$-2（\frac{1}{3}）^{n}-6n+9$，
∴S_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=$-2[\frac{1}{3}+（\frac{1}{3}）^{2}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]-6（1+2+…+n）+9n$
=$-2•\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}-6•\frac{n（n+1）}{2}+9n$
=$（\frac{1}{3}）^{n}-1-3{n}^{2}+6n=（\frac{1}{3}）^{n}-3（n-1）^{2}+2$．
顯然當n∈N^*時，{S_2n}單調遞減，
又當n=1時，${S}_{2}=\frac{7}{3}$＞0，當n=2時，${S}_{4}=-\frac{8}{9}$＜0，
∴當n≥2時，S_2n＜0；
${S}_{2n-1}={S}_{2n}-{a}_{2n}=\frac{3}{2}•（\frac{1}{3}）^{n}-\frac{5}{2}-3{n}^{2}+6n$，
同理，當且僅當n=1時，S_2n-1＞0，
綜上，滿足S_n＞0的所有正整數(shù)n為1和2．

點評 本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，考查等比關系的確定，考查邏輯思維能力和運算推理能力，屬難題．