Question

已知a,b,c是不全相等的正數，求證：

a(b²+c²)+b(c²+a²)+c(a²+b²)>6abc.

 

Answer 1

答案：
解析：

證法一 ∵a>0,b2+c2≥2bc ∴由不等式的性質定理4，得 a(b2+c2)≥2abc.　　　　  ① 同理b(c2+a2)≥2abc,　　 ② c(a2+b2)≥2abc.   ③ 因為a,b,c為不全相等的正數，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號. 由不等式的性質定理3的推論，①,②,③三式相加得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 證法二 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2) =ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2 =(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2) ∵a,b,c為不全相等的正數. ∴a2b+b2c+c2a>3=3abc ab2+bc2+ca2>3=3abc 由不等式的性質定理3的推論，得 < a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.