Question

設函數(shù)f（x）=

a2x+a-2

2x+1

，
（1）對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，是否有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立？如果成立，請證明你的結論；如果不成立，請說明理由；
（2）當a=1時，若對任意t∈[1，2]有f（m2^t-2）+f（2^t）≥0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的判斷與證明,函數(shù)單調性的性質

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）運用單調性定義證明，注意作差、變形、定符號和下結論；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調性，則f（m2^t-2）+f（2^t）≥0即有f（m2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
再由單調性去掉f，得到t的不等式，運用參數(shù)分離，求出最大值即可．

解答： （1）證明：對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
證明如下：對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

a•2x1+a-2

2x1+1

-

a•2x2+a-2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

由于x₁＜x₂，則2x1-2x2＜0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
則f（x₁）＜f（x₂）．
故對任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立．；
（2）解：a=1時，f（x）=

2x-1

2x+1

，
f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)，
則f（m2^t-2）+f（2^t）≥0即有f（m2^t-2）≥-f（2^t）=f（-2^t），
由（1）知f（x）是增函數(shù)，
則m2^t-2≥-2^t，即有m≥

1

2t-1

-1，t∈[1，2]，
則

1

2t-1

-1≤

1

21-1

-1=0，
∴m≥0

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調性的判斷，考查奇偶性和單調性的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．