Question

15．某苗木公司要為一小區(qū)種植3棵景觀樹，每棵樹的成本為1000元，這種樹的成活率為$\frac{2}{3}$，有甲、乙兩種方案如下；
甲方案：若第一年種植后全部成活，小區(qū)全額付款8000元；若第一年成活率不足$\frac{1}{2}$，終止合作，小區(qū)不付任何款項(xiàng)；若成活率超過(guò)$\frac{1}{2}$，但沒有全成活，第二年公司將對(duì)沒有成活的樹補(bǔ)種，若補(bǔ)種的樹全部成活，小區(qū)付款8000元，否則終止合作，小區(qū)付給公司2000元．
乙方案：只種樹不保證成活，每棵樹小區(qū)付給公司1300元．
（1）若實(shí)行甲方案，求小區(qū)給苗木公司付款的概率；
（2）公司為獲得更大利潤(rùn)，應(yīng)選擇哪種方案？

Answer 1

分析 （1）設(shè)小區(qū)付款為事件A，利用n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出小區(qū)給苗木公司付款的概率．
（2）設(shè)甲方案的利潤(rùn)ξ可能取值為：-3．-2，4，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望，再求出乙方案的利潤(rùn)，從而得到苗木公司選用甲方案的利潤(rùn)的均值更大．

解答 解：（1）設(shè)小區(qū)付款為事件A，
則$P（A）=C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}+{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{20}{27}$，
所以小區(qū)給苗木公司付款的概率為$\frac{20}{27}$．…（5分）
（2）設(shè)甲方案的利潤(rùn)ξ可能取值為：-3．-2，4，5，…（6分）
$P（ξ=-3）=C_3^1{（\frac{1}{3}）^2}\frac{2}{3}+{（\frac{1}{3}）^3}=\frac{7}{27}$，
$P（ξ=-2）=C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}•\frac{1}{3}=\frac{4}{27}$，
$P（ξ=4）=C_3^2{（\frac{2}{3}）^2}\frac{1}{3}•\frac{2}{3}=\frac{8}{27}$，
$P（ξ=5）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	-3	-2	4	5
P	$\frac{7}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（ξ）=$-3×\frac{7}{27}+（-2）×\frac{4}{27}+4×\frac{8}{27}+5×\frac{8}{27}$=$\frac{43}{27}$，…（10分）
乙方案的利潤(rùn)0.9千元，
∵0.9$＜\frac{43}{27}$，∴苗木公司選用甲方案的利潤(rùn)的均值更大．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法和應(yīng)用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．