【題目】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓,為橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn)Q.
(i)若為橢圓上任意一點(diǎn),求的值;
(ii)若點(diǎn)坐標(biāo)為,求面積的最大值.
【答案】(1).(2)(i)2(ii).
【解析】
(1)根據(jù)和,可得到,代入點(diǎn)到橢圓的方程,解出和的值即可得解;
(2)(i)先由(1)中的結(jié)論得出橢圓E的方程,設(shè)點(diǎn),寫出射線的方程,再將其代入橢圓的方程可得到點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)間距離公式分別求出,并作比即可得解;
(ii)利用點(diǎn)到直線的距離公式可得到點(diǎn)到直線的距離,聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程,消去得到關(guān)于的一元二次方程,然后利用弦長公式求出,即可表示出的面積,再結(jié)合換元法和對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求得面積的最大值.
(1)由題意可知,,
∵,∴,
又橢圓過點(diǎn),∴,解得,∴,
∴橢圓C的方程為.
(2)(i)由(1)可知,橢圓E的方程為,設(shè)點(diǎn),
∴射線的方程為,代入可得點(diǎn),
∴.
(ii)∵,∴過點(diǎn)P的直線為,
∵點(diǎn)Q到直線AB的距離等于原點(diǎn)O到直線AB距離的3倍,
∴,
聯(lián)立,得,
∴弦長,
∴面積,
令,則,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立.
故面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動,且,若動點(diǎn)滿足.
(1)求出動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),與圓相交于兩點(diǎn)(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),求直線的斜率之積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正六棱錐的底面邊長為,高為.現(xiàn)從該棱錐的個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形,設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.
(1)求概率的值;
(2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知P是圓上任意一點(diǎn),F2(1,0),線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓F1上運(yùn)動時(shí),記點(diǎn)Q的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)的直線l與(1)中曲線相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△AOB面積的最大值及此時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方體,點(diǎn)在線段上運(yùn)動,則下列判斷正確的是( )
①平面平面
②平面
③異面直線與所成角的取值范圍是
④三棱錐的體積不變
A.①②B.①②④C.③④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,,是橢圓的三個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率,點(diǎn)到直線的距離是.設(shè)是橢圓上位于軸左邊上的任意一點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn),以為直徑的圓記為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:圓始終與圓:相切,并求出所有圓的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量表得如下頻數(shù)分布表:
質(zhì)量指標(biāo)值分組 | [75,85) | [85,95) | [95,105) | [105,115) | [115,125) |
頻數(shù) | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答題卡上作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:
(II)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(III)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由;
若,證明:在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個(gè)零點(diǎn);設(shè)為的極值點(diǎn),為的零點(diǎn)且,求證:.
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