Question

4．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=2x³-3x²+$\frac{1}{2}$，則g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+…+g（$\frac{99}{100}$）=（　�。�

• A． 100
• B． 50
• C． $\frac{99}{2}$
• D． 0

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，0）對稱，即f（x）+f（1-x）=0，由此可得到結(jié)論．

解答 解：∵g（x）=2x³-3x²+$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）=6x²-6x，g''（x）=12x-6，
由g''（x）=0，得x=$\frac{1}{2}$，
又f（$\frac{1}{2}$）=2×$（\frac{1}{2}）^{3}-3×（\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$=0，
∴故函數(shù)g（x）關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，0）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=0，
∴g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+…+g（$\frac{99}{100}$）=49×$0+f（\frac{50}{100}）$=f（$\frac{1}{2}$）=0．
故選：D．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．