Question

14．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的動點，則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值為3．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把求|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|的最小值轉(zhuǎn)化為求直角梯形ABCD的中位線長得答案．

解答 解：如圖，
以PA、PB為鄰邊作平行四邊形PAQB，則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{PE}$，
要使|$\overrightarrow{PQ}$|取最小值，只需|$\overrightarrow{PE}$|取最小值，
∵E為AB的中點，故當PE⊥CD時，|$\overrightarrow{PE}$|取最小值，
這時PE為梯形的中位線，
即$|\overrightarrow{PE}{|}_{min}=\frac{1}{2}$（|BC|+|AD|）=$\frac{3}{2}$，
故$|\overrightarrow{PQ}{|}_{min}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．