已知A，B，C是同一平面上不共線的三點(diǎn)，且
AB
•
AC
=
BA
•
BC
．
（1）求證：∠CAB=∠CBA；
（2）若
AB
•
AC
=2，求A，B兩點(diǎn)之間的距離．
分析：（1）由題意可得：
AB
=
AC
-
BC
，因?yàn)?span id="g008owa" class="MathJye">
AB
(
AC
+
BC
)=0，所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，進(jìn)而得到答案．
（2）直接根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)樵凇鰽BC中，
所以
AB
=
AC
-
BC
．
又因?yàn)椤鰽BC中，
AB
•
AC
=
BA
•
BC
，即
AB
(
AC
+
BC
)=0，
所以(
AC
-
BC
)•(
AC
+
BC
)=0，
所以|
AC
|=|
BC
|．
∴∠CAB=∠CBA；
（2）設(shè)AB=b，AC=BC=a，
∴
AB
•
AC
=abcosA=ab•
a2+b2-a2
2ab
=
b2
2
=2；
∴b=2．
故A，B兩點(diǎn)之間的距離為：2．
點(diǎn)評：本題考查向量的三角形法則與利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求向量的模以及余弦定理的應(yīng)用．是對知識的綜合考查．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
、
b
、
c
是同一平面內(nèi)的三個向量，其中
a
=（1，2）
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求
c
的坐標(biāo)；
（2）若|
b
|=
5
2
，且2
a
+
b
與
a
-3
b
垂直，求
a
與
b
的夾角θ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
，
c
是同一平面內(nèi)的三個向量，其中
a
=（1，-2）．
（1）若|
c
|=2
5
，且
c
∥
a
，求向量
c
的坐標(biāo)；
（2）若|
b
|=
2
，且
a
+
b
與
a
-2
b
垂直，求
a
與
b
的夾角θ的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
，
b
，
c
是同一平面內(nèi)的三個向量，其中
a
=(1， 2)．
（Ⅰ）若|
b
|=3
5
，且
b
∥
a
，求
b
的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若
c
與
a
的夾角θ的余弦值為-
5
10
，且(
a
+
c
)⊥(
a
-9
c
)，求|
c
|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
、
b
、
c
是同一平面內(nèi)的三個單位向量，它們兩兩之間的夾角均為120°，且|k
a
+
b
+
c
|＞1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

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