Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n，證明：$\frac{3}{2}≤{T_n}$＜5．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，驗(yàn)證a₁=S₁=3也滿足上式
可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項(xiàng)和 ${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$
又${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{2n+5}{2^n}-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，得T_n關(guān)于n單調(diào)遞增，有${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，即可得$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
又當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=3也滿足上式
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1；
（2）證明：數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{2^n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為${T_n}=3×\frac{1}{2}+5×\frac{1}{2^2}+…+（2n+1）×\frac{1}{2^n}$，
                                       $\frac{1}{2}{T_n}=3×\frac{1}{2^2}+5×\frac{1}{2^3}+…+（2n-1）×\frac{1}{2^n}+（2n+1）×\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
兩式錯(cuò)位相減得$\frac{1}{2}{T_n}=3×\frac{1}{2}+2（\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{2^n}）-\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{3}{2}+\frac{{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）}}{{1-\frac{1}{2}}}=\frac{2n+1}{{{2^{n+1}}}}=\frac{5}{2}-\frac{2n+5}{{{2^{n+1}}}}$，
得${T_n}=5-\frac{2n+5}{2^n}＜5$
又${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{2n+5}{2^n}-\frac{2n+7}{{{2^{n+1}}}}=\frac{2n+3}{{{2^{n+1}}}}＞0$，故T_n關(guān)于n單調(diào)遞增，有${T_n}≥{T_1}=\frac{3}{2}$，
綜上，$\frac{3}{2}≤{T_n}＜5$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了錯(cuò)位相減法求和及數(shù)列的單調(diào)性，屬于中檔題．