Question

9．（1）已知關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集是{x|x＜-2，或x＞-$\frac{1}{2}$}，求不等式ax²-bx+c＞0的解集．
（2）已知M是關(guān)于x的不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0的解集，且M中的一個(gè)元素是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并用a表示出該不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）不等式ax²+bx+c＜0的解集得出a＜0，且對(duì)應(yīng)方程的兩實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出$\frac{a}$和$\frac{c}{a}$的值，再化不等式ax²-bx+c＞0，從而求出它的解集；
（2）x=0代入不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0，求出a的取值范圍；再求對(duì)應(yīng)二次不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集．

解答 解：（1）關(guān)于x的不等式ax²+bx+c＜0的解集是{x|x＜-2，或x＞-$\frac{1}{2}$}，
∴a＜0，且方程ax²+bx+c=0的兩實(shí)數(shù)根為-2和-$\frac{1}{2}$，
由根與系數(shù)的關(guān)系知，$\left\{\begin{array}{l}{-2-\frac{1}{2}=-\frac{a}}\\{-2×（-\frac{1}{2}）=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$；
解得$\frac{a}$=$\frac{5}{2}$，$\frac{c}{a}$=1；
∴不等式ax²-bx+c＞0可化為x²-$\frac{5}{2}$x+1＜0，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴所求不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，2）；
（2）根據(jù)題意，把x=0代入不等式2x²+（3a-7）x+3+a-2a²＜0，
得3+a-2a²＜0，
即2a²-a-3＞0，
解得a＜-1或a＞$\frac{3}{2}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）；
二次不等式對(duì)應(yīng)的方程為2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）=0，
其兩根為3-2a，$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a＜-1時(shí)，3-2a＞$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$，
∴不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集為{x|$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$＜x＜3-2a}；
當(dāng)a＞$\frac{3}{2}$時(shí)，3-2a＜$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$，
∴不等式2x²+（3a-7）x+（3+a-2a²）＜0的解集為{x|3-2a＜x＜$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．