Question

19．已知f（x）=-x³-2x²+4x，若對x∈[-3，3]恒有f（x）≥m²-14m成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3]
• B． [11，+∞）
• C． （3，11）
• D． [3，11]

Answer 1

分析 要使原式恒成立，只需 m²-14m≤f（x）_min，然后再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）=-x³-2x²+4x，當(dāng)x∈[-3，3]的最值即可．

解答 解：因?yàn)閒（x）=-x³-2x²+4x，當(dāng)x∈[-3，3]
所以f′（x）=-3x²-4x+4，令f′（x）=0得x=$\frac{2}{3}$或x=-2，
因?yàn)樵摵瘮?shù)在閉區(qū)間[-3，3]上連續(xù)可導(dǎo)，且極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零，
所以最小值一定在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得，
而f（-3）=-3，f（-2）=-8，f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{40}{27}$，f（3）=-33，
所以該函數(shù)的最小值為-33，
因?yàn)閒（x）≥m²-14m恒成立，
只需m²-14m≤f（x）_min，
即m²-14m≤-33，即m²-14m+33≤0
解得3≤m≤11．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了不等式恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決，而本題涉及到了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，因此我們只是從端點(diǎn)值和極值中找最值，而極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零，因此最終是從導(dǎo)數(shù)為零、端點(diǎn)值中找的最值．