Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=BD=2，三角形PAD為等邊三角形，將它沿AD折成大小為α（

π

2

＜α＜π）的二面角P-AD-B，連接PC，PB．
（Ⅰ）證明：AD⊥PB；
（Ⅱ）當(dāng)α=120°時(shí)，求PC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）首先通過做中點(diǎn)，利用三角形PAD為等邊三角形，及菱形ABCD中，AB=BD=2，得到PE⊥AD，BE⊥AD，得到AD⊥平面PBE，進(jìn)一步求得結(jié)論．
（Ⅱ）利用二面角的平面角，進(jìn)一步作出PF⊥平面ABCD，進(jìn)一步利用余弦定理解得：BE=

3

，PF=

3

2

，EF=

3

2

同理在△CDE中，ED=1，CD=2，∠EDC=120°，利用余弦定理解得：EC=

7

，利用余弦定理，
解得：cos∠BEC=

3+7-4

2 3 7

=

21

7

，所以在△CEF中，利用余弦定理：
CF²=EF²+EC²-2EF•ECcos∠FEC，解得：CF=

43

2

，最后求出結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）在菱形ABCD中，AB=BD=2，三角形PAD為等邊三角形，
取AD的中點(diǎn)E，連接PE，BE，
所以：PE⊥AD，BE⊥AD，
則：AD⊥平面PBE，
所以：AD⊥PB．
（Ⅱ）將它沿AD折成大小為120°的二面角P-AD-B，
所以∠PEF=60°，過P做PF⊥平面ABCD，交BE的延長線于F，
連接CF，所以：∠PCF即是PC與平面ABCD所成的角．
在△ABE中，AB=2，AE=1，∠ABE=60°
利用余弦定理解得：BE=

3

在△PEF中，
解得：PF=

3

2

，EF=

3

2

同理在△CDE中，ED=1，CD=2，∠EDC=120°
利用余弦定理解得：EC=

7

則：在△BEC中，利用余弦定理，
解得：cos∠BEC=

3+7-4

2 3 7

=

21

7

所以在△CEF中，利用余弦定理：
CF²=EF²+EC²-2EF•ECcos∠FEC
解得：CF=

43

2

在直角三角形PCF中，tan∠PCF=

PF

CF

=

3 43

43

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定定理，線面垂直與線線垂直之間的轉(zhuǎn)化，線面的夾角的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題，屬于中等題型．