【題目】已知曲線
若,過點
的直線
交曲線
于
兩點,且
,求直線
的方程;
若曲線表示圓,且直線
與圓
交于
兩點,是否存在實數(shù)
,使得以
為直徑的圓過原點,若存在,求出實數(shù)
的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)或
(即
)(2)
【解析】試題分析:(1)根據(jù)垂徑定理求出圓心到直線距離為1 ,再根據(jù)點到直線距離公式求直線的斜率,即得直線方程,(2)先根據(jù)曲線
表示圓得實數(shù)
取值范圍為
.再根據(jù)以
為直徑的圓過原點得
,利用向量數(shù)量積可得
,根據(jù)直線方程進一步化簡得
,最后聯(lián)立直線方程與圓方程,結(jié)合韋達定理化簡得
.
試題解析:解(1) 當時, 曲線C是以
為圓心,2為半徑的圓,
若直線的斜率不存在,顯然不符,
故可直線為:
,即
.
由題意知,圓心到直線
的距離等于
,
即:
解得或
.故的方程
或
(即
)
(2)由曲線C表示圓,即
,
所以圓心C(1,2),半徑,則必有
.
假設(shè)存在實數(shù)使得以
為直徑的圓過原點,則
,設(shè)
,
則,由
得
,即
,又
,
故,從而
, 故存在實數(shù)
使得以
為直徑的圓過原點,
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為研究冬季晝夜溫差大小對某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響,某農(nóng)科所記錄了5組晝夜溫差與100顆種子發(fā)芽數(shù),得到如下資料:
組號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.
(1)若選取的是第1組與第5組的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)第2組至第4組的數(shù)據(jù),求出關(guān)于
的線性回歸方程
;
(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
(參考公式:,
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)的圖象與直線
交于
兩點,線段
中點的橫坐標為
,證明:
為函數(shù)
的導函數(shù)).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若存在極值點
,且
,其中
,求證:
;
(Ⅲ)設(shè),函數(shù)
,求證:
在區(qū)間
上最大值不小于
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,橢圓
和拋物線
交于
兩點,且直線
恰好通過橢圓
的右焦點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)經(jīng)過橢圓右焦點的直線
和橢圓
交于
兩點,點
在橢圓上,且
,
其中為坐標原點,求直線
的斜率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程.
已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)若直線的極坐標方程為,求直線被曲線
截得的弦長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在
上有最大值1和最小值0,設(shè)
.
(1)求的值;
(2)若不等式在
上有解,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)若方程 (
為自然對數(shù)的底數(shù))有三個不同的實數(shù)解,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,小明同學從中任取3道題解答.
(Ⅰ)求小明同學至少取到1道乙類題的概率;
(Ⅱ)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題.若小明同學答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是
,且各題答對與否相互獨立.求小明同學至少答對2道題的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,△
是等邊三角形,△
是等腰直角三角形,
,平面
⊥平面
,
⊥平面
,點
為
的中點,連接
.
(1)求證:平面
;
(2)若,求三棱錐
的體積.
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