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【題目】已知函數,為自然對數的底數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數的圖象與直線交于兩點，線段中點的橫坐標為，證明: 為函數的導函數）.

【答案】（1） 當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用導數與函數的單調性的關系與分類整合思想求解；（2）依據題設構造函數運用導數知識推證.

試題解析：

（1）由題可知，. ①當時，

令，則，令，則.

②當時，.③當時，令，則，令，則,綜上，①當時，在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，在上單調遞增；③當時，在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）

,,當時，

在上單調遞增，與軸不可能有兩個交點，故.

當時，令，則；令，則.

故在上單調遞增，在上單調遞減.不妨設，

且.要證，需證，

即證，

又，所以只需證.

即證：當時，.

設，

則在上單調遞減，

又，故.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知各項均不相等的等差數列的前五項和，且成等比數列.

（1）求數列的通項公式；

（2）若為數列的前項和，且存在，使得成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖,已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，右焦點為,點分別是該橢圓的上、下頂點，點是直線上的一個動點（與軸交點除外），直線交橢圓于另一點，記直線, 的斜率分別為

（1）當直線過點時，求的值；

（2）求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖．

（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數加以說明；

（Ⅱ）建立關于的回歸方程（系數精確到0.01），預測2016年我國生活垃圾無害化處理量．

參考數據： ， ， ， ．

參考公式：相關系數，

回歸方程， ，

本題中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為： ， ．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在三棱錐中， 和是邊長為的等邊三角形， ， 是中點， 是中點．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值的大小；

（Ⅲ）在棱上是否存在一點，使得的余弦值為？若存在，指出點在上的位置；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖1在△中，，、分別為線段、的中點，，．以為折痕，將△折起到圖2的位置，使平面⊥平面，連接，，設是線段上的動點，滿足．

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若二面角的大小為，求的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某單位從一所學校招收某類特殊人才，對20位已經選拔入圍的學生進行運動協(xié)調能力和邏輯思維能力的測試，其測試結果如下表：

例如表中運動協(xié)調能力良好且邏輯思維能力一般的學生是4人，由于部分數據丟失，只知道從這20位參加測試的學生中隨機抽取一位，抽到邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率為．

（1）求、的值；

（2）從運動協(xié)調能力為優(yōu)秀的學生中任意抽取2位，求其中至少有一位邏輯思維能力優(yōu)秀的學生的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線

若，過點的直線交曲線于兩點，且，求直線的方程；

若曲線表示圓，且直線與圓交于兩點，是否存在實數，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數分別為27，9，18，先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運動員參加比賽．

（Ⅰ）求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數；

（Ⅱ）將抽取的6名運動員進行編號，編號分別為，從這6名運動員中隨機抽取2名參加雙打比賽．

（ⅰ）用所給編號列出所有可能的結果；

（ⅱ）設為事件“編號為的兩名運動員至少有一人被抽到”，求事件發(fā)生的概率．

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