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已知拋物線C:,點A、B在拋物線C上.

(1)若直線AB過點M(2p,0),且=4p,求過A,B,O(O為坐標原點)三點的圓的方程;

(2)設直線OA、OB的傾斜角分別為,且,問直線AB是否會過某一定點?若是,求出這一定點的坐標,若不是,請說明理由.

 

(1);(2)過定點

【解析】

試題分析:(1)當直線斜率不存在時方程為,與的交點分別為M,N,弦長。此時,,邊的中線長為,所以是直角三角形,過三點的圓的圓心為邊的中點,半徑為,則可得此圓的標準方程。(2)設點,為了省去對斜率存在與否的討論可設直線AB的方程為:。將直線與拋物線方程聯立,消去整理為關于的一元二次方程,可得根與系數的關系。根據用正切的兩角和公式展開可得關于兩點坐標間的關系。根據兩關系式可得間的關系,故此可判斷直線是否過定點。

試題解析:(1)直線與拋物線的兩個交點坐標分別是:M,N,弦長,故三角形ABO是,所以過A,B,O三點的圓方程是:

(2)【解析】
設點,直線AB的方程為:,它與拋物線相交,由方程組消去x可得,故,

這樣,tan

即1=,所以,所以直線AB的方程可以寫成為:,即,所以直線AB過定點.

考點:1圓的標準方程;2拋物線與直線的位置關系問題;3直線過定點問題。

 

練習冊系列答案
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C.[,] D.[,]

 

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