Question

10．設(shè)$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$且$tanα-tanβ=\frac{1}{cosβ}$，則（　�。�

• A． $3α+β=\frac{π}{2}$
• B． $2α+β=\frac{π}{2}$
• C． $3α-β=\frac{π}{2}$
• D． $2α-β=\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由題意和三角函數(shù)公式變形可得cosα=cos[$\frac{π}{2}$-（α-β）]，由角的范圍和余弦函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：∵$tanα-tanβ=\frac{1}{cosβ}$，∴$\frac{sinα}{cosα}$-$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1}{cosβ}$，
∴$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{1}{cosβ}$+$\frac{sinβ}{cosβ}$=$\frac{1+sinβ}{cosβ}$，
∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，
∴cosα=sinαcosβ-cosαsinβ=sin（α-β）
由誘導(dǎo)公式可得cosα=sin（α-β）=cos[$\frac{π}{2}$-（α-β）]，
∵$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，∴[$\frac{π}{2}$-（α-β）]∈（0，π），
∴α=$\frac{π}{2}$-（α-β），變形可得2α-β=$\frac{π}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，熟練應(yīng)用三角函數(shù)公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．