Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F,過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為M,A,B,M在準(zhǔn)線上的射影分別為C,D,N.

（1）求直線FN與直線AB的夾角的大小；

（2）求證：點(diǎn)B,O,C三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）先設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、中點(diǎn)M（x0，y0），利用斜率公式得出kFNy0，再分類討論：當(dāng)x1＝x2時(shí)，顯然FN⊥AB；當(dāng)x1≠x2時(shí)，證出kFNkAB＝﹣1．從而知FN⊥AB成立，即可得出結(jié)論．

（2）將焦點(diǎn)弦AB的直線的方程代入拋物線的方程，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，再結(jié)合直線斜率的關(guān)系即可證得B、O、C三點(diǎn)共線，從而解決問(wèn)題．

（1）設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）、中點(diǎn)M（x0，y0），焦點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1，0）．

N（﹣1，y0）,∴kFNy0，

當(dāng)x1＝x2時(shí)，顯然FN⊥AB；

當(dāng)x1≠x2時(shí)，kAB，

∴kFNkAB＝﹣1．

∴FN⊥AB．綜上所述知FN⊥AB成立，

即直線FN與直線AB的夾角θ的大小為90°；

（2）由x＝my+1與拋物線方程聯(lián)立，可得y2﹣4my﹣4＝0，∴y1y2＝﹣4，

∴A在準(zhǔn)線上的射影為C，

∴C（﹣1，y1），∴kOC＝﹣y1，

∵kOB，y1y2＝﹣4，

∴kOB＝kOC，∴點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)共線．