【題目】已知函數(shù),斜率為的直線(xiàn)與相切于點(diǎn).

(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),討論的極值點(diǎn).

(Ⅲ)證明:.

【答案】(1)上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,(2) 當(dāng)時(shí),的極小值點(diǎn)為=1,極大值點(diǎn);當(dāng)時(shí),無(wú)極值點(diǎn);當(dāng)時(shí),的極大值點(diǎn)為=1,極小值點(diǎn);(3)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)(1)把f(x)代入h(x),對(duì)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)區(qū)間,注意函數(shù)的定義域;(2)已知實(shí)數(shù)0a1,對(duì)g(x)進(jìn)行求導(dǎo),令g′(x)=0,得出極值點(diǎn),這時(shí)方程g′(x)=0的兩個(gè)根大小不一樣,需要進(jìn)行討論,然后再確定極大值和極小值點(diǎn);(3)結(jié)合(1)通過(guò)討論x的范圍,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

Ⅰ)由題意知:

,

,

解得:解得:

所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減

=

,

,

g′(x)=0x1=﹣1,x2=1,

1、若0﹣11,a0a1,0x1x2,

此時(shí)g(x)的極小值為x=1,極大值點(diǎn)x=﹣1,

2、若﹣1=1,a0,即a=,x1=x2=1,則g′(x)0,g(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增區(qū)間,無(wú)極值點(diǎn),

3、若﹣11,a00a,x1x2=1,

此時(shí)g(x)的極大值點(diǎn)為x=1,極小值點(diǎn)x=﹣1,

綜上:當(dāng)a1時(shí),g(x)的極小值點(diǎn)為x=1,極大值點(diǎn)x=﹣1;

當(dāng)a=時(shí),g(x)無(wú)極值點(diǎn)為x=1,極小值點(diǎn)x=;

當(dāng)0a時(shí),g(x)的極大值點(diǎn)為x=1,極小值點(diǎn)x=﹣1;

Ⅲ)由(Ⅰ)知:

當(dāng)時(shí),

,即

當(dāng)時(shí),

,

當(dāng)時(shí)

,

所以

練習(xí)冊(cè)系列答案
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