Question

對?x₁∈[1，2]，?x₂∈[2，3]總有2ax₁²-x₂²+2x₁x₂+4x₁²（lnx₂-lnx₁）≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A、[-

  1

  2

  ，+∞）
• B、（-∞，

  1

  2

  ]
• C、[-

  1

  2

  ，

  3

  2

  -2ln3]
• D、[

  3

  2

  -2ln3，+∞）

Answer 1

考點：對數(shù)的運算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知得a≥

1

2

(

x2

x1

)2-（

x2

x1

）-2ln（

x2

x1

），設(shè)t=

x2

x1

，t∈[1，3]，化簡為：a≥

1

2

t²-t-2lnt構(gòu)造函數(shù)f（t）=

1

2

t²-t-2lnt （t∈[1，3]），利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵?x₁∈[1，2]，?x₂∈[2，3]總有2ax₁²-x₂²+2x₁x₂+4x₁²（lnx₂-lnx₁）≥0
∴a≥

x22-2x1x2-4x12(lnx2-lnx1)

2x12

，
即：a≥

1

2

(

x2

x1

)2-（

x2

x1

）-2ln（

x2

x1

）
設(shè)t=

x2

x1

，則由x₁∈[1，2]，x₂∈[2，3]，得t∈[1，3]，
可化簡為：a≥

1

2

t²-t-2lnt
構(gòu)造函數(shù)f（t）=

1

2

t²-t-2lnt （t∈[1，3]），
則有a≥[f（t）]max
f（t）導數(shù)f′（t）=t-1-

2

t

，
由f′（t）=0，得t=-1或t=2，
∵f（1）=-

1

2

，f（2）=-2ln2，f（3）=

3

2

-2ln3，
∴f（t）_max=f（3）=

3

2

-2ln3
∴a≥

3

2

-2ln3．
故選：D．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意構(gòu)造法和導數(shù)性質(zhì)的合理運用．