Question

設a＞ln2-1，函數(shù)f（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
（1）求f（x）的單調區(qū)間與極值，指出方程f（x）=0的根的個數(shù)；
（2）求證：當x＞0時，不等式e^x＞x²-2ax+1成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，知f′（x）=e^x-2，x∈R．令f′（x）=0，得x=ln2．列表討論能求出f（x）的單調區(qū)間區(qū)間及極值．
（2）設g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．由（1）知當a＞ln2-1時，g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．由此能夠證明e^x＞x²-2ax+1．

解答： （1）解：∵f（x）=e^x-2x+2a，x∈R，
∴f′（x）=e^x-2，x∈R．
令f′（x）=0，得x=ln2．
于是當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減?	2（1-ln2+a）	單調遞增?

故f（x）的單調遞減區(qū)間是（-∞，ln2），
單調遞增區(qū)間是（ln2，+∞），
f（x）在x=ln2處取得極小值，
極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2+2a=2（1-ln2+a）＞0，無極大值．
∴f（x）=0無解．
（2）證明：設g（x）=e^x-x²+2ax-1，x∈R，
于是g′（x）=e^x-2x+2a，x∈R．
由（1）知當a＞ln2-1時，
g′（x）最小值為g′（ln2）=2（1-ln2+a）＞0．
于是對任意x∈R，都有g′（x）＞0，所以g（x）在R內單調遞增．
于是當a＞ln2-1時，對任意x∈（0，+∞），都有g（x）＞g（0）．
而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0．
即e^x-x²+2ax-1＞0，
故e^x＞x²-2ax+1．

點評：本題考查函數(shù)的單調區(qū)間及極值的求法和不等式的證明，具體涉及到導數(shù)的性質、函數(shù)增減區(qū)間的判斷、極值的計算和不等式性質的應用．解題時要認真審題，仔細解答．