Question

7．已知橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其右焦點(diǎn)F到橢圓C的其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離按一定順序構(gòu)成以$\sqrt{3}$為公差的等差數(shù)列，且該數(shù)列的三項(xiàng)之和等于6．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線AB與橢圓C交于點(diǎn)A，B（A在第一象限），滿足2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OF}$，當(dāng)△0AB面積最大時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）由于右焦點(diǎn)F到橢圓C的其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離按一定順序構(gòu)成以$\sqrt{3}$為公差的等差數(shù)列，可得此三項(xiàng)分別為：a-c，a，a+c，且a=a-c+$\sqrt{3}$，
可得：c，又該數(shù)列的三項(xiàng)之和等于6，可得3a=6，b²=a²-c²．解出即可得出．
（2）設(shè)直線AB的方程為：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（4+m²）y²-2mty+t²-4=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OF}$，即2y₁+y₂=0．可得8m²t²=（4-t²）（4+m²）．利用S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$•|t|=$\frac{2|t|\sqrt{4+{m}^{2}-{t}^{2}}}{4+{m}^{2}}$及其基本不等式的性質(zhì)可得：4+m²=2t²．聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）∵右焦點(diǎn)F到橢圓C的其中三個(gè)頂點(diǎn)的距離按一定順序構(gòu)成以$\sqrt{3}$為公差的等差數(shù)列，
∴此三項(xiàng)分別為：a-c，a，a+c，且a=a-c+$\sqrt{3}$，
可得：c=$\sqrt{3}$，
又該數(shù)列的三項(xiàng)之和等于6，
∴3a=6，解得a=2，
∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）設(shè)直線AB的方程為：my=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（4+m²）y²-2mty+t²-4=0，（*）
△＞0，可得4+m²＞t²．
∴y₁+y₂=$\frac{2mt}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$．
∵滿足2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OF}$，
∴2y₁+y₂=0．
∴y₁=$\frac{-2mt}{4+{m}^{2}}$，y₂=$\frac{4mt}{4+{m}^{2}}$．

∴$\frac{-8{m}^{2}{t}^{2}}{（4+{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$．
∴8m²t²=（4-t²）（4+m²）．
|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{4+{m}^{2}-{t}^{2}}}{4+{m}^{2}}$．
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$•|t|=$\frac{2|t|\sqrt{4+{m}^{2}-{t}^{2}}}{4+{m}^{2}}$≤2×$\frac{1}{4+{m}^{2}}$×$\frac{{t}^{2}+（4+{m}^{2}-{t}^{2}）}{2}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)4+m²=2t²時(shí)取等號．
聯(lián)立8m²t²=（4-t²）（4+m²），4+m²=2t²．
解得：t²=$\frac{20}{9}$，m²=$\frac{4}{9}$．
∴直線AB的方程為：$±\frac{2}{3}$y=x±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、弦長公式、三角形面積計(jì)算公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算、基本不等式的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．