Question

已知z為虛數(shù)，且|2z+15|=．
（1）求|z|；（2）設(shè)u=（3-i）z，若u在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，求復(fù)數(shù)z；（3）若z²+2為實(shí)數(shù)，且z恰好為實(shí)系數(shù)方程x²+px+q=0的兩根，試寫出此方程．

Answer 1

解：（1）設(shè)z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，則有|2m+15+2yi|=|x+10+yi|，
∴（2m+15）²+4n²=3（m+10）²+3n²，化簡可得 m²+n²=75．
∴|z|==5．
（2）∵u=（3-i）z，若u在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，
∴u=（3m+n）+（3n-m）i，3m+n+3n-m=0，∴．
∴ 或 ．∴z=2-i，z=-2+i．
（3）∵z² +2 =m²-n²+2m+2n（m-1）i 為實(shí)數(shù)，∴2n（m-1）=0，由n≠0可得 m=1．
又m²+n²=75，∴n=±．
∴z=1+i，或 z=1-i．
由 z恰好為實(shí)系數(shù)方程x²+px+q=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得-p=1+i+1-i=2，
q=（1+i ）（1-i ）=75，故要求的方程為：x²-2x+75=0．
分析：（1）設(shè)z=m+ni，且 m、n∈R，n≠0，由題意可得|2m+15+2yi|=|x+10+yi|，化簡可得m²+n²=75，
從而得到|z|的值．
（2）由題意可得 u=（3m+n）+（3n-m）i，3m+n+3n-m=0，故 ，解得m 和n的值，即得復(fù)數(shù)z．
（3）由 z² +2 =m²-n²+2m+2n（m-1）i 為實(shí)數(shù)，得2n（m-1）=0，m=1．再由m²+n²=75，求出
n的值，可得z的值，由根與系數(shù)的關(guān)系求得p和q的值，即可寫出方程．
點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，求出m 和n的值，是解題的關(guān)鍵．