已知⊙O：x2＋y2＝1和定點(diǎn)A(2，1)，由⊙O外一點(diǎn)P(a，b)向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|＝|PA|.(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；(Ⅱ)求線段PQ長(zhǎng)的最小值；(Ⅲ)若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時(shí)⊙P的方程.

(Ⅰ)  2a＋b－3＝0  (Ⅱ) 255.  （Ⅲ）(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2


解析:

（1）連OP，∵Q為切點(diǎn)，PQ⊥OQ，由勾股定理有|PQ|2＝|OP|2－|OQ|2.

又由已知|PQ|＝|PA|，故|PQ|2＝|PA|2，即a2＋b2－12＝(a－2)2＋(b－1)2，

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2a＋b－3＝0.

(Ⅱ)由2a＋b－3＝0，得b＝－2a＋3.∴|PQ|＝a2＋b2－1＝a2＋(－2a＋3)2－1＝5a2－12a＋8＝5(a－65)2＋45，故當(dāng)a＝65時(shí)，|PQ|min＝255，即線段PQ長(zhǎng)的最小值為255.

(Ⅲ)設(shè)⊙P的半徑為R，OP設(shè)⊙O有公共點(diǎn)，⊙O的半徑為1，∴|R－1|≤|OP|≤R＋1，R≥|OP|－1，且R≤|OP|＋1.而|OP|＝a2＋b2＝a2＋(－2a＋3)2＝5(a－65)2＋95，故當(dāng)a＝65時(shí)，|PQ|min＝355，此時(shí)b＝－2a＋3＝35，R min＝355－1，得半徑取最小值⊙P的方程為(x－65)2＋(y－35)2＝(355－1)2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知⊙O：x2+y2=a2，A（-a，0），B（a，0），P1、P2是⊙O上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，則直線AP1與直線BP2的交點(diǎn)P的軌跡方程為（　�。�
A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2-y2=4a2D、x2-y2=a2

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已知⊙O：x2+y2=1和定點(diǎn)A（2，1），由⊙O外一點(diǎn)P（a，b）向⊙O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足PQ=PA．
（1）證明：P（a，b）在一條定直線上，并求出直線方程；
（2）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；
（3）若以P為圓心所作的⊙P與⊙O有公共點(diǎn)，試求半徑取最小值時(shí)的⊙P方程．

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（2012•黃州區(qū)模擬）已知⊙O：x2+y2=4及點(diǎn)A（1，3），BC為⊙O的任意一條直徑，則
AB
•
AC
=（　�。�

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如圖，已知點(diǎn)A(－2，0)，點(diǎn)P是⊙B：(x－2)2＋y2＝36上任意一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線交BP于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡記為曲線C．

(Ⅰ)求曲線C的方程；

(Ⅱ)已知⊙O：x2＋y2＝r2(r＞0)的切線l總與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)M、N，并且其中一條切線滿足，求證：對(duì)于任意一條切線l總有．

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