Question

6．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）•f（x）=1對(duì)于x∈R恒成立，且f（x）＞0，則f（2015）=1．

Answer 1

分析 先根據(jù)條件求出函數(shù)f（x）的周期為4，再根據(jù)周期把所求問題轉(zhuǎn)化，即可求出答案．

解答 解：∵偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）•f（x）=1，
∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=f（x），
所以函數(shù)的周期T=4，f（2015）=f（3）；
令x=-1，f（1）•f（-1）=1=f²（1），
又f（x）＞0，
∴f（1）=1，f（3）=$\frac{1}{f（1）}$=1；
∴f（2015）=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)周期性的應(yīng)用問題，解題時(shí)要利用好題中f（x+2）•f（x）=1的關(guān)系式，是基礎(chǔ)題目．