Question

8．已知函數(shù)f（x）=1g（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），若對(duì)于任意的x∈（1，2]時(shí)，f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f[$\frac{m}{（x-1）^{2}（x-6）}$]＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [4，+∞）
• B． （12，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增．不等式可整理為（x+1）（x-1）（x-6）＜-m恒成立，只需構(gòu)造函數(shù)h（x）=（x+1）（x-1）（x-6），求出區(qū)間內(nèi)的最大值即可．因?yàn)閤∈（1，2]，故能取等號(hào)．

解答 解：∵f（x）=1g（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），
∴f（-x）=1g（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）
=-f（x），
∴函數(shù)為奇函數(shù)，由表達(dá)式顯然知函數(shù)為增函數(shù)，
∵f（$\frac{x+1}{x-1}$）+f[$\frac{m}{（x-1）^{2}（x-6）}$]＞0恒成立，
∴$\frac{x+1}{x-1}$＞-$\frac{m}{（x-1）^{2}（x-6）}$，
∴（x+1）（x-1）（x-6）＜-m恒成立，
令h（x）=（x+1）（x-1）（x-6），可知函數(shù)h（x）在x∈（1，2]時(shí)，單調(diào)遞減，
∴h（x）的最大值大于h（1）=0，
∴0≤-m，
∴m≤0，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性和應(yīng)用，利用構(gòu)造函數(shù)的方法，通過求函數(shù)的最值解決恒成立問題．